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数学

在之前最开始常老师带的高数时有提到关于三角函数之差与三次函数的等价无穷小间的关系,后来高数竞赛也零零散散用到一些,汤家凤的课程也一下有这样的关系,后来把所有组合全部走了一遍,发现之间还存在进一步的记忆规律和对称性,此篇小记一下。

  • 行文
    • 引入
    • 准备
    • 组合
    • 总结

引入

  • x0x\to0时,sinxtanxarcsinxarctanxx\sin{x}\sim\tan{x}\sim\arcsin{x}\sim\arctan{x}\sim x是等价无穷小
  • 三角函数sinx,tanx,arcsinx,arctanx\sin{x},\tan{x},\arcsin{x},\arctan{x}和一次函数xx两两相减与在x0x\to0时与x3x^3是同阶无穷小,
  • 本文讨论具体无穷小的数值关系。
    • limx0ABx3=Resault,(A,B{sinx,tanx,arcsinx,arctanx,x})\lim_{x\to0}\frac{A-B}{x^3}=Resault,(A,B\in \{\sin{x},\tan{x},\arcsin{x},\arctan{x},x\})

准备

判断大小

  • 根据函数图像

    • 得,在x0x\to0tanx>arcsinx>x>sinx>arctanx\tan{x}>\arcsin{x}>x>\sin{x}>\arctan{x}

    • 则最终结果limx0tanxxx3=Resault>0\lim_{x\to0}\frac{\tan{x}-x}{x^3}=Resault>0以此类推,可以得到其他结果正负

思路

  • 可以先求出与xx差的关系,再利用AB=Ax(Bx)A-B=A-x-(B-x)拆开求

  • 分母是x3x^3三次,如果分子求导不引入新的分母成分,则三次洛必达再代入一定可以解出来

    • 不引入分母是指(sinx)=cosx,(tanx)=sec2x(\sin{x})'=\cos{x},(\tan{x})'=\sec^2{x},而引入分母是指(arcsinx)=11+x2,(arctanx)=11+x2(\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},(\arctan{x})'=\frac{1}{1+x^2}

  • 如果含有arcsinx\arcsin{x}尽量避免使用洛必达,而是使用x=sintx=\sin{t}进行代换

  • 如果可以凑分子(母)含有cosx,1+x2\cos{x},1+x^2也是可以的,如果此时分母(子)如果也是(或者可以拆成)二次的,则可以拆开用等价无穷小

组合

主线

  • xx减去其他四项

  • xsinxx-\sin{x}

limx0xsinxx3=(1)limx01cosx3x2=(2)limx01x23x2=16\lim_{x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}_=^{(1)}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos{x}}{3x^2}_=^{(2)}\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2}}{3x^2}=\frac{1}{6}

(1)洛必达

(2)等价无穷小1cosxx221-\cos{x}\sim\frac{x^2}{2}

  • xtanxx-\tan{x}

limx0xtanxx3=(1)limx01sec2x3x2=(2)tan2x3x2=(3)13\lim_{x\to0}\frac{x-\tan{x}}{x^3}_=^{(1)} \lim_{x\to 0}\frac{1-\sec^2{x}}{3x^2}_=^{(2)} \frac{-\tan^2{x}}{3x^2}_=^{(3)}-\frac{1}{3}

(1)洛必达

》(2)三角恒等代换

(3)等价无穷小

  • xarcsinxx-\arcsin{x}

limx0xarcsinxx3=(1)x=sintlimt0sinttsin3t=(2)limt0sinttt3=(3)cost13t2=(4)16\lim_{x\to0}\frac{x-\arcsin{x}}{x^3}_=^{(1)x=\sin{t}}\lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}-t}{\sin^3{t}}_=^{(2)}\lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}-t}{t^3}_=^{(3)}\frac{\cos{t}-1}{3t^2}_=^{(4)}-\frac{1}{6}

》(1)三角代换

(2)分子等价无穷小sinxx\sin{x}\sim x

(3)洛必达

(4)等价无穷小

  • xarctanxx-\arctan{x}

limx0xarctanxx3=(1)limx0111+x23x2=(2)limx013(1+x2)=(3)13\lim_{x\to0}\frac{x-\arctan{x}}{x^3}_=^{(1)}\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}_=^{(2)}\lim_{x\to 0}\frac{1}{3(1+x^2)}_=^{(3)}\frac{1}{3}

(1)洛必达

(2)约分,因为x0x\to 0,所以取不到0,所以含有xx可以约分,约分就是除以一个不为0的数

(3)直接代入x=0x=0

副线

  • 通法
    • xx为中介拆开求,???同次可以拆开,也就是说已经提前知道是同次了
    • sinxarctanx\sin{x}-\arctan{x}为例,其余情况在文尾结论处给出

limx0sinxarctanxx3=(1)limx0(sinxxx3arctanxxx3)=(2)16(13)=16\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}-\arctan{x}}{x^3}_=^{(1)}\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{x}-x}{x^3}-\frac{\arctan{x}-x}{x^3})_=^{(2)}-\frac{1}{6}-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{6}

  • 其他不同方法

limx0sinxtanxx2=(1)tanxxcosx1x3=(2)1(12)=12\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^2}_=^{(1)}\frac{tan{x}}{x}\cdot \frac{\cos{x}-1}{x^3}_=^{(2)}1\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}

》(1)凑cosx1\cos{x}-1x2x^2

(2)等价无穷小

limx0xarctanxx3=(1)111+x23x2=(2)limx0(cosx13x211+x213x2)=(3)limx0(cosx13x2x2(1+x2)(3x2))=(4)limx012x23x2+13=16\lim_{x\to0}\frac{x-\arctan{x}}{x^3}_=^{(1)}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}_=^{(2)}\lim_{x\to 0}(\frac{\cos{x}-1}{3x^2}-\frac{\frac{1}{1+x^2}-1}{3x^2})_=^{(3)}\lim_{x\to 0}(\frac{\cos{x}-1}{3x^2}-\frac{x^2}{(1+x^2)(3x^2)})_=^{(4)}\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

(1)洛必达

》(2)插入1凑cosx1\cos{x}-1,都是二次的,分子两部分可以拆开

(3)后部分变形化简

(4)前部分等价无穷小,后部分极限是0取不到0可以约分,约分后直接代入x=0x=0

limx0xarctanxx3=(1)111+x23x2=(2)limx0(cosx13x211+x213x2)=(3)sinx2x(1+x2)26x=(4)cosx+2(1+x2)2(2x)22(1+x2)(1+x2)46=(5)1+21616\lim_{x\to0}\frac{x-\arctan{x}}{x^3}_=^{(1)}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}_=^{(2)}\lim_{x\to 0}(\frac{\cos{x}-1}{3x^2}-\frac{\frac{1}{1+x^2}-1}{3x^2})_=^{(3)} \frac{-\sin{x}-\frac{-2x}{(1+x^2)^2}}{6x}_=^{(4)}\frac{-\cos{x}+\frac{2(1+x^2)^2-(2x)^2\cdot 2(1+x^2)}{(1+x^2)^4}}{6}_=^{(5)}\frac{-1+\frac{2}{1}}{6}\frac{1}{6}

(1)洛必达

》(2)插入1凑cosx1\cos{x}-1,都是二次的,分子两部分可以拆开

》(3)洛必达,分母三次,最多洛必达三次一定可以,最后会代入0,所以再复杂也不怕

(4)洛必达

(5)前部分,后部分,都直接代入x=0x=0

总结

  • 根据函数图像得大小关系

  • tanx>arcsinx>x>sinx>arctanx\tan{x}>\arcsin{x}>x>\sin{x}>\arctan{x}

  • 根据组合求数值

  • 观察结果数值规律

    • 数值为

      • 16=16×1\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\times1
      • 13=16×2\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\times2
      • 12=16×3\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\times3
      • 23=16×4\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\times4
    • 结合大小得出结论

        • A5=tanx,A4=arctanx,A3=x,A2=sinx,A1=arctanxA_5=\tan{x},A_4=\arctan{x},A_3=x,A_2=\sin{x},A_1=\arctan{x}
        • i,j{1,2,3,4,5}i,j\in\{1,2,3,4,5\}
        • limx0AiAjx3=16×(ij)\lim_{x\to 0}\frac{A_i-A_j}{x^3}=\frac{1}{6}\times(i-j)
    • 即:相邻的两个之差与x3x^3比的极限是16\frac{1}{6},隔一个则是16×2\frac{1}{6}\times 2