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等价无穷小使用情况

在学习等价无穷小替换的时候,老师会给我们讲这个替换只能用在乘除式子中,而规定在加减式子中不能使用。这是为什么呢?可能有的老师给大家讲解了原理,但是有的却没讲。今天我们一起来探讨下这个问题。

先看一个具体的例子,如下

例1[公式]

例2[公式]

在例1和例2中,分子上都是减法运算,而且都使用了等价无穷小替换。实际上例1的正确结果为 [公式] ,例2的正确结果就为1。**也就是说同样是减法运算,例1做等价无穷小替换就是错误的,而例2做等价无穷小替换就是正确的。**那么这其中的奥秘到底是什么呢?

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这其中的原理跟他们的泰勒展开式有关。他们的泰勒展开如下:

[公式]

[公式]

[公式]

同时也可以推出1-cosx的泰勒展开式子为:

[公式]

那么我们可以得到以下几个结论:

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

那么在例1中,如果使用另一种等价替换,也就是如下所示:

[公式]

这就能够得到正确结果。这就是因为一开始我们在例1中采用了 [公式][公式] 这两个替换,而把他们泰勒展开式中关于x3的项给自动省略了。但是这是不能省略的,因为分母的阶数就为3,分子中关于x3的项与之相比会产生不为0的量。**因此你忽略了分子泰勒展开式中关于x3的项就相当于忽略了这个不为0的量,那么得到的结果误差就必定会很大很大,自然就得不到正确的结果了。**

同样的道理,大家应该能够自己想清楚为什么在例2中就能够得到正确的结果了吧。因为例2中分母的阶数为1,也就是x的一次方。而 [公式][公式] 这两个展开足够应付1这个阶数了,你后面省略的小欧的部分(就是o(x)跟o(x^2))跟分母的比值的极限也是为0的,因此你做了替换从而忽略了这个0,也就是很正常的,并不会有什么影响,自然就能得到正确的结果了。

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其实大家可以看到,所谓的等价无穷小替换,本质上是泰勒展开式的一种特殊的形式,他只保留了展开式子的第一项而已。所以有时候精度不是很准,有时候在做减法时会有很大的误差。这就是为什么我们干脆直接规定等价无穷小替换不能在加减法中使用。

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最后做个小结:

(1) 等价无穷小替换只能在乘除式子中使用,而不能在加减式子中使用。

(2) 在求极限做泰勒展开式时,如果A/B型,一定要做到A中的每一项的泰勒展开的阶数都与B的阶数相同,或者至少比B高一阶(因为有时候确实做不到相同阶)。

再做一些说明吧。之所以等价无穷小替换能在乘除式中使用,是因为乘除运算不会导致项的抵消,而加减运算会导致项的抵消与合并。

看一道泰勒展开求极限的例题。

例3[公式]

这道题如果想用泰勒展开来做,怎么做?分母直接采用等价无穷小替换为x的三次方,阶数为3。而分子中ex可以泰勒展开,因为分母的阶数为3,所以ex必须展开到3阶。也就是 [公式] 。具体做法如下:

[公式]

所以我们看到,泰勒展开本质上是将复杂的式子都转化为多项式的乘除法来运算,因为多项式的运算是非常简单的。