数字图像处理

  • 题型
    • 17题型
      • 填空4
      • 选择5
      • 简答6
      • 计算3
    • 18题型
      • 填空8*2
      • 选择6*2
      • 判断9*2
      • 简答5*4+1*6
      • 计算7+6+5+10
    • 19题型
      • 填空
      • 选择
      • 判断 9*2 有点难
      • 简答
      • 计算
    • 21题型
      • 填空
      • 选择
      • 判断
      • 简答(按采分点)
      • 计算(小波25分+)
      • 21重点
        • 作业知识点、课时多
        • 难公式给,常见公式如高斯要记忆,不考matlab
  • 标题格式说明
    • 【点21.普】—表示21年说明的普通考点
    • 【考17.1填空.1/4】—表示17年出的考题,第1大题填空题一共4小题,这是第1题
    • 【作业21】题目1.1—表示21年第1次布置作业的第1题

第3章 空间域图像增强

【点21.普】3.2某些基本灰度变换

image-20211115203341367


小题

【考17.2选择.1/5】

image-20211115202454482

image-20211116003246554


$
s=cr^{\gamma}
$

  • $c,\gamma$为正的常数​​

  • $\gamma<1$​​​变亮,大于1变暗

  • $\gamma=c=1$时,将简化为正比变换


【考18.1填空.1/8】

image-20211115211137674


$q=\sqrt p$

$s=r\to s=f(r^2)=s\to f(x)=\sqrt{x}$


【考18.2选.1/6】

image-20211115212457222


  • K>1变亮
    • K>1 – 映射动态区间变大 值域范围变大(相对原来定义域)
  • k=1不变
  • k<1变暗
  • 分段如果在$y=x$​上方则动态范围变大
  • 可以由其他曲线直线等组合

【作业21】题目1.1

1、完成课本习题3.2(a)(b), 课本中文版《处理》第二版的113页。可以通过matlab帮助你分析理解。

20210926171019312

20210926171536422


解:

(a)

由图(a),结合《数字图像处理MATLAB版第二版》第26页(或PPT-lec3-p23)可得,该图像函数为:
$
s=T(r)=\frac{1}{1+(\frac{m}{r})^E}
$
式中,$r$​表示输入图像的灰度,$s$​是输出图像中的相应灰度值,$E$​​​​​用于控制该函数的斜率,$m$控制以何为中心的动态域。对应matlab代码如下:

1
2
3
4
5
g = 1./(1+(m./f).^E)
% f为存储r的矩阵
% g为存储s的矩阵
% m为给定参数,决定动态域中心
% E为给定参数,控制该函数的斜率

在实际应用中为避免分母为0,可变换为下来模式
$
s=T(r)=\frac{1}{1+(\frac{m}{r+\epsilon})^E}
$
式中,$\epsilon$​表示极小正数。对应matlab代码如下

1
2
3
4
5
6
g = 1./(1+(m./(double(f)+eps)).^E)
% f为存储r的矩阵
% g为存储s的矩阵
% m为给定参数,决定动态域中心
% E为给定参数,控制该函数的斜率
% eps为预定义系统函数,不需要赋值

(b)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
% 设置基本参数
f = 0:255; % 灰度0-255
m = (255+1)/2; % 固定m为灰度级数一半
E = [0.1, 0, 1, 10, 20, 80, 200, 1000];

% 配置绘图及辅助参数
E_str = sprintfc('%g',E);
E_len = length(E);
g=zeros(E_len,256);

% 计算图像
for E_num=1:E_len
g(E_num,:) = 1./(1+(m./(double(f)+eps)).^E(E_num));
end

% 绘图
%plot(f,g(1,:),f,g(2,:)),xlabel('r'),ylabel('s=T(r)')%,legend('s_1','s_2')
plot(f,g),xlabel('r'),ylabel('s=T(r)'),legend(E_str) %,gtext(E_str)

20211002124200688

【点21.普】3.3.1 直方图均衡化

大题

【考17.4计算.1/3】
  1. 直方图均衡

image-20211116003832587

网友解答1

image-20211116003910998

image-20211116003926925


  • 归一化的直方图为[0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]
  • 则累计分布为
    • 0.17
    • 0.17+0.25=0.42
    • 0.42+0.21=0.63
    • 0.63+0.16=0.79
    • 0.79+0.07=0.86
    • 0.86+0.08=0.94
    • 0.94+0.04=0.98
    • 0.98+0.02=1.00
  • 累积分密度为(因为已经归一化了,所以结果一样)
    • 0.17/1=0.17
    • 0.42/1=0.42
    • 其他同理[0.17 0.42 0.63 0.79 0.86 0.94 0.98 1.00]
  • 新旧对应关系为
    • 【计算方法
      • 累积密度,
        • 先1乘以灰度级长度减一的值,
        • 再取整(通常四舍五入),
      • 即 新级别 = [旧级别概率累积分布X(灰度总级数-1)] 】
    • 具体:
      • 0.17X(8-1)=1.19=1 旧灰度0变新灰度1
        • 原来8个灰度级别 0 1 2 3 4 5 6 7
        • 则新灰度级别1是由部分原来的灰度0变来的
      • 0.42X(8-1)=2.94=3 旧灰度1
      • 0.63X7=4.41=4 旧灰度2
      • 0.79X7=5.53=6 旧灰度3
      • 0.86X7=6.02=6 旧灰度4
      • 0.94X7=6.58=7 旧灰度5
      • 0.98X7=6.86=7 旧灰度6
      • 1.00X7=7 旧灰度7
  • 则新的概率为(由旧的累加得来,旧的[灰度0概率=0.17 1=0.25 2=0.21 3=0.16 4=0.07 5=0.08 6=0.04 7=0.02])
    • 灰度0
      • 0 (没有谁变成0,则0级别的概率为0)
    • 灰度1
      • 0.17(只有一个原来的0变过来)
    • 灰度2
      • 0(没有谁变成2,则2级别的概率为0)
    • 灰度3
      • 0.25(只有一个原来的1变过来)
    • 灰度4
      • 0.21(只有一个原来的2变过来)
    • 灰度5
      • 0
    • 灰度6
      • 0.16+0.07=0.23(由原来的灰度3和4变来,把他们概率相加)
    • 灰度7
      • 0.08+0.04+0.02=0.14(由原来的灰度5、6和7变来,把他们概率相加)
【考18.3判.1/9】

image-20211115213540867


【考18.5计算.1/4】

image-20211115230846071


  • 归一化的直方图为[0.10 0.25 0.05 0.26 0.17 0.08 0.02 0.07]
  • 则累计分布为
    • 0.10
    • 0.10+0.25=0.35
    • 0.35+0.05=0.40
    • 0.40+0.26=0.66
    • 0.66+0.17=0.83
    • 0.83+0.08=0.91
    • 0.91+0.02=0.93
    • 0.93-0.07=1.00
  • 累积分密度为(因为已经归一化了,所以结果一样)
    • 0.10/1=0.10
    • 0.35/1=0.35 …
【考19.5计算.1/4】

image-20211115234908184


【作业21】题目1.2

2、一幅8灰度级图像具有如下所示的直方图,求直方图均衡后的灰度级和对应概率,并画出均衡后的直方图的示意图。(图中的8个不同灰度级对应的归一化直方图为[0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02])

20210926170759389


解:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
%% 配置数据
raw_value = 0:7; % 原图灰度值
raw_p = [0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]; % 原图灰度值 对应概率
raw_p_sum = zeros(1,8); % 原图灰度值 对应概率 累加
new_value = zeros(1,8);
new_p = zeros(1,8);

%% 计算
for k=1:8
raw_p_sum(k) = sum(raw_p(1:k));

new_value_temp = raw_p_sum(k)*(8-1); % 映射成新灰度值,(临时映射,类型小数)
new_value(k) = round(new_value_temp); % 映射成新灰度值,(最值映射,上面四舍五入)

new_p_num = new_value(k)+1; % 加上下标偏移,生成新的灰度值是[0-7],而新概率数组下标是[1-8]
new_p(new_p_num) = new_p(new_p_num) + raw_p(k); % 对新概率数组进行更新
end

disp(raw_p_sum)
disp(new_value)
disp(new_p)


%% 柱状图绘图
subplot(2,2,1)
bar(0:7,raw_p); title('原图概率分布');
subplot(2,2,2)
bar(0:7,new_p); title('新图概率分布')


%% 生成表格数据
column_name=["灰度级0","灰度级1","灰度级2","灰度级3","灰度级4","灰度级5","灰度级6","灰度级7"].';
row_name=["原图概率","原图概率累加","旧图对应新图","新图概率"].';
data=[raw_p;raw_p_sum;new_value;new_p];
%% 表格作图
set(figure(1),'position',[200 400 550 530]);
uitable(gcf,'Data',data,'Position',[20 20 600 100],'Columnname',column_name,'Rowname',row_name);


20211002165918093

参考

https://blog.csdn.net/qq_15971883/article/details/88699218


下面是手算思考过程,(和上面不是同一个题目)

我们以一个简单的例子来手工计算均衡化后的图像。这里我们假设存在以下这张图像(假定图像的灰度级范围是 [0, 9]):

1
2
3
4
5
1	3	9	9	8
2 1 3 7 3
3 6 0 6 4
6 8 2 0 5
2 9 2 6 0

####### S1 计算原始图像的灰度直方图

第一步,计算原始图像的灰度直方图$n_k$

$n(0)=3;n(1)=2$即有几个0几个1,即原始图像中灰度级为0的像素的个数是3,可以从上面数出来,得到$n(1)\sim n(9)$,即$n_k=[3,2,4,4,1,1,4,1,2,3]$

得到原始图像的灰度直方图:

image-20211004154001670

这个例子不太明显

####### S2 计算原始图像的灰度分布频率

计算原始图像的像素总个数$N=5\times5=25$。

计算原始图像的灰度分布频率

$p_r(k)=\frac{n_k}{N}=[\frac{3}{25},\frac{2}{25},\frac{4}{25},\frac{4}{25},\frac{1}{25},\frac{1}{25},\frac{4}{25},\frac{1}{25},\frac{2}{25},\frac{3}{25}]$

####### S3 计算原始图像的灰度累积分布频率(核心)

$s_k=\sum_{i=0}^{k}\frac{n_i}{k}$

$=[\frac{3}{25},\frac{3+2}{25},\frac{3+2+4}{25},\frac{3+2+4+4}{25},\frac{3+2+4+4+1}{25},\frac{3+2+4+4+1+1}{25},\frac{3+2+4+4+1+1+4}{25},\frac{3+2+4+4+1+1+4+1}{25},\frac{3+2+4+4+1+1+4+1+2}{25},\frac{3+2+4+4+1+1+4+1+2+3}{25}]$

$=[\frac{3}{25},\frac{5}{25},\frac{9}{25},\frac{13}{25},\frac{14}{25},\frac{15}{25},\frac{19}{25},\frac{20}{25},\frac{22}{25},\frac{25}{25}],k=0,1,2,…,9$

####### S4 还原归一化并取整得到新旧灰度级对应关系

取整通常选四舍五入

以灰度级$0$为例$[s_0^{raw}(L-1)]=[\frac{3}{25}(10-1)]=[0.12*9]=[1.08]=1$

说明原来的灰度0要全部变为灰度1

以灰度级$2$为例$[s_2^{raw}(L-1)]=[\frac{3+2+4}{25}(10-1)]=[0.36*9]=[3.239999]=3$

说明原来的灰度0要全部变为灰度1

即:

$TRAN_{s_{raw}\to s_{new}} = [0\to1, 1\to2,2\to3,3\to5,4\to5,5\to5,6\to7,7\to7,8\to8,9\to9]$

即把原来图里面的灰度0全部变成灰度1,把1全部变成2,2全部变成3,3全部变成5,4全部变成5,灰度5不变,依次类推。

####### S5 按照上面映射关系映射出新图

映射

1
2
3
4
5
1->2	3->5	9->9	9->9	8->8
2->3 1->2 3->5 7->7 3->5
3->5 6->7 0->1 6->7 4->5
6->7 8->8 2->3 0->1 5->5
2->3 9->9 2->3 6->7 0->1

最值新图

1
2
3
4
5
2	5	9	9	8
3 2 5 7 5
5 7 1 7 5
7 8 3 1 5
3 9 3 7 1

####### [S6]分析

以上过程即为手动计算直方图均衡化。接着,我们看一下均衡化后图像的灰度直方图,如图所示:

image-20211004163305012

均衡化后图像的灰度直方图

image-20211004154001670

原始图像的灰度直方图

$TRAN_{s_{raw}\to s_{new}} = [0\to1, 1\to2,2\to3,3\to5,4\to5,5\to5,6\to7,7\to7,8\to8,9\to9]$

  • 直观理解
    • 第一点,图像的灰度级的相对关系都是不变的,如原来是1小于等于2现在变成,(1->)2小于等于(2->)3,2还是小于等于3的;原来是3小于等于4,现在变成(3->)5小于等于(4->)5,相对顺序还是没变
      • 本题都是升高或者不变的,后面可能变大变小,之间的相对位置关系是不变的
      • 因为灰度级如果发生颠倒,相当于局部某些色调图像反转,那样就不是单纯亮度变幻了
    • 第二点,灰度概率小的可能被合并,如4和5都合并到5,
      • 直观上理解,就只能表示10个级别,4和5都是极个别的像素,不如把这个像素都”抹掉“了,合并成其他颜色,把级别空位让给别人
      • 即1即使改变某些出现次数非常少的点的颜色也不影响整体效果,2可以让出一些级别
      • 如果一幅图是所有灰度级别都有,但是有很多灰度级别就是非常少的,比如非常极端,只有一个,那么这些级别很可能压缩成一个级别
    • 第三点,灰度概率大的如果连在一起,可能要分开,如原图2和3
      • 直观上理解,2和3这两种灰度出现次数非常多,但是这两种灰度亮度差不多,给人的感觉就是一种灰度,这样整幅图就是大概率一种灰度了,这种效果就是偏暗或者偏亮,因为把两个本来不同的灰度看成一种灰度了
      • 解决方法就是,拉开,把灰度2和3中间加几个级别,使得可以区分出是两种灰度,就是使得整幅图片可以表现的更加丰富
      • 又因为2和3之间没有其他灰度,那么拉出来的就空着了,如果插入其他小概率灰度的话,会使得相对顺序发生改变,产生某些色调的图像反转效果
【作业21】题目1.4【K】直方图匹配

4、完成课本数字图像处理第二版114页,习题3.10。

20210926171202054


解:

  • 由$p_r(r)$过$(0,2),(1,0)$得$p_r(r)=-2r+2,r\in[0,1]$

  • 由$p_z(z)$过$(0,0),(1,2)$得$p_z(z)=2z,z\in[0,1]$

  • 对$p_r(r)$寻找直方图均衡变换:

    • $s_1=T_1(r)=\int_0^r p_r(w)dw=\int_0^r-2w+2dw=-r^2+2r$
  • 对$p_z(z)$寻找直方图均衡变换:

    • $s_2=T_2(z)=\int_0^z p_z(w)dw=\int_0^z2wdw=z^2$
  • 由$s_1=s_2$得:

    • $-r^2+2r=z^2$
    • $z=\sqrt{-r^2+2r}$(舍负解)
  • 所以变换函数为$z=\sqrt{-r^2+2r}$

【作业21】题目1.3

3、 (选做题)课本习题3.6。对于离散的情况,用matlab进行一下实验。

20210926171053127


解:

直方图均衡只是将灰度级的分布进行重新分配(没有改变总体顺序),即使一个原图的分布从随机分布变换到了[0,1]上的均匀分布,使之偏向于密度均匀,已经均匀了再次均匀就无效了。如果使用matlab两次结果不同,可能的原因有两个:1.matlab和书上算法并不完全一样,2.四舍五入那一步产生微小偏移。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
%% 两次直方图均衡化测试
I = imread('C:\Users\Zander\Desktop\unit3_test3.tif');
figure;
subplot(321), imshow(I); title('原图');
subplot(322), imhist(I); axis([0, 256, 0, 20000]); title('原图概率分布');
I_1 = histeq(I);
subplot(323), imshow(I_1); title('第一次均衡');
subplot(324), imhist(I_1); axis([0, 256, 0, 20000]); title('第一次均衡概率分布');
I_2 = histeq(I_1);
subplot(325), imshow(I_2); title('第二次均衡');
subplot(326), imhist(I_2); axis([0, 256, 0, 20000]); title('第二次均衡概率分布');

20211002214728252

参考

https://blog.csdn.net/qq_15971883/article/details/88699218

https://blog.csdn.net/u010106759/article/details/49455361

【点21.必考.卷积】3.5空间滤波基础

小题

【考17.1填空.4/4】相关卷积性质

image-20211115202421483

image-20211116003224479


image-20211117231751311

  • 卷积
    • 交换性
    • 结合性
    • 分配性
  • 相关
    • 分配性
【考17.2选择.2/5】卷积

image-20211115202538870

【考18.1空.2/8】卷积核

image-20211115211241798


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 0 0
0 0 0
0 0 0

0 0.2 0
0.2 0.3 0.1
0 0.2 0

# 翻转
0 0.2 0
0.1 0.3 0.2
0 0.2 0

TODOC ?

卷积核是模板不带翻转

【考18.2选.3/8】卷积

image-20211115213036953


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
[3	5	6] # 补0
[0 3 5 6 0]
[1 -1] # 翻转
[-1 1]
---
[0 3 5 6 0]
[-1 1] -1*0+1*3=3
3
[3 X X X X]
---
[0 3 5 6 0]
[-1 1] -1*3+1*5=2
2
[3 2 X X X]
---
[0 3 5 6 0]
[-1 1] -1*5+1*6=1
1
[3 2 1 X X]
---
[0 3 5 6 0]
[-1 1] -1*6+1*0=-6
-6
[3 2 1 -6 X]
---
# 如果取same矩阵
3 [2 1 -6] X
1
2
3
x=[3 5 6]
y=[1 -1]
z=conv(x,y)
【考18.3判.23/9】卷积性质

image-20211115213627583

  • 2对,统计排序不是线性的
  • 3对,卷积–交换结合分配
【作业21】题目2.1 卷积
  1. 请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。

(1)$ [ 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 4\ 3\ 2\ 1] \star [ 2\ 0\ -2]$

(2)$\left[\begin{matrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\star \left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 4 \ 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 1 & 0 & 5 \ 2&3&2&1&4\ 2&1&0&4&2 \end{matrix}\right] $


(1)

卷积(手动累加直推)

  • 由题得滤波器为$1\times3$,即$m\times n=1\times3,m=1,n=3$

      • $a=\frac{m-1}{2}=\frac{1-1}{2}=0$
      • $b=\frac{n-1}{2}=\frac{3-1}{2}=1$
  • 所以

$
\begin{aligned}
g(x,y)=&\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x-s,y-t)\
g(x,y)=&\sum_{s=-0}^{0}\sum_{t=-1}^{1}w(s,t)f(x-s,y-t) \
g(x,y)=&\sum_{t=-1}^{1}w(0,t)f(x-0,y-t) \
g(x,y)=&\sum_{t=-1}^{1}w(0,t)f(x,y-t)
\end{aligned}
$

  • 因为图像和滤波器都是一维,所以$y$始终为0,则上式变为

$
\begin{aligned}
g(x,0)&=\sum_{t=-1}^{1}w(0,t)f(x,0-t) \
g(x)&=\sum_{t=-1}^{1}w(t)f(x-t)
\end{aligned}
$

  • $w(t)$值分别为$w(-1)=2,w(0)=0,w(1)=-2$

  • $f(x)$值分别为

    • 由题得

      • $
        \begin{aligned}
        &f(-4)=1,f(-3)=2,f(-2)=3,f(-1)=4,\&f(0)=5,\&f(1)=4,f(2)=3,f(3)=2,f(4)=1\end{aligned}
        $

    • 左右分别需要补充$m-1=3-1=2$个0,即$f(x)$补充0后的取值为

      • $
        \begin{aligned} &f(-6)=0,f(-5)=0 \ &f(-4)=1,f(-3)=2,f(-2)=3,f(-1)=4,\ &f(0)=5,\ & f(1)=4,f(2)=3,f(3)=2,f(4)=1,\ & f(5)=0,f(6)=0
        \end{aligned}
        $
  • 一共$M+m-1=9+3-1=11$个$g(x)$的取值,即$x\in[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]$,

    • 不可以取$\pm6$(再往后滤波器对不齐了),
    • 如果是same模式切割成和原图一样大小,则取值$x\in[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]$(两边两个对应填充对齐的位置),
    • full模式,和same模式,和原图像对应位置的下标都是相同的,因为每次卷积的值都生成在卷积核中心位置
    • 求值如下

$
\begin{aligned}
g(-5)
= & \sum_{t=-1}^{1}w(t)f(-5-t)\
=&w(-1)f(-5-(-1))+w(0)f(-5-0)+w(1)f(-5-1)\
= & w(-1)f(-4)+w(0)*f(-5)+w(1)*f(-6)\
=&2
1+0*0+(-2)*0=2
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
g(-4)
=&\sum_{t=-1}^{1}w(t)f(-4-t)\
=&w(-1)f(-4-(-1))+w(0)f(-4-0)+w(1)f(-4-1)\
=&w(-1)f(-3)+w(0)*f(-4)+w(1)*f(-5)\
=&2
2+0*1+(-2)*0=4
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
g(-3)
=&\sum_{t=-1}^{1}w(t)f(-3-t)\
=&w(-1)f(-3-(-1))+w(0)f(-3-0)+w(1)f(-3-1)\
=&w(-1)f(-2)+w(0)*f(-3)+w(1)*f(-4)\
=&2
3+0*2+(-2)*1=4
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
& g(-2)=w(-1)f(-1)+w(0)*f(-2)+w(1)*f(-3)=24+03+(-2)*2=4 \
& g(-1)=w(-1)*f(0)+w(0)*f(-1)+w(1)*f(-2)=2
5+0*4+(-2)*3=4
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
g(0)
=&\sum_{t=-1}^{1}w(t)f(0-t)\
=& w(-1)f(-(-1))+w(0)f(-0)+w(1)f(0-1)\
=& 24+05+(-2)*4=0
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
&g(1)= -4\
&g(2)= -4\
&g(3)= -4\
&g(4)= -4
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
g(5)
=&\sum_{t=-1}^{1}w(t)f(5-t)\
=&w(-1)f(5-(-1))+w(0)f(5-0)+w(1)f(5-1)\
=&w(-1)f(6)+w(0)*f(5)+w(1)*f(4)\
=&2
0+0*0+(-2)*1=-2
\end{aligned}
$

  • 所以

    • $
      Result_{full}=[2 & 4& 4& 4& 4& 0& -4& -4& -4& -4& -2]\
      Result_{same}=[4& 4& 4& 4& 0& -4& -4& -4& -4]
      $

卷积(手动计算公式)

S1

掩向量为$[2\ 0 \ -2]$反转为$[-2 \ 0 \ 2]$

S2

$h(x)=-2f(x-1)+0f(x)+2*f(x+1)=-2f(x-1)+2f(x+1)$

S3

$f(x)$补充0为$\begin{aligned} &f(-6)=0,f(-5)=0 \ &f(-4)=1,f(-3)=2,f(-2)=3,f(-1)=4,\ &f(0)=5,\ & f(1)=4,f(2)=3,f(3)=2,f(4)=1,\ & f(5)=0,f(6)=0
\end{aligned}$

S4

$h(x)$的$x$取值范围

  • 为full模式一共$M+m-1=9+3-1=11$个$g(x)$的取值,即$x\in[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]$,

  • 为same模式时,$x\in[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]$

S5
$
\begin{aligned}
&h(-5) =-2f(-5-1)+2f(-5+1)=-20+21=2 \
&h(-4) =-2f(-4-1)+2f(-4+1)=-20+22=4 \ \
&h(-3) =-2f(-3-1)+2f(-3+1)=-21+23=4 \
&h(-2) = 4 \
&h(-1) = 4\
&h(0) = 0\
&h(1) = -4\
&h(2) =-4\
&h(3) =-4\
&h(4) =-4\
&h(5) =-2\
\end{aligned}
$

  • 所以

    • $
      Result_{full}=[2 & 4& 4& 4& 4& 0& -4& -4& -4& -4& -2]\
      Result_{same}=[4& 4& 4& 4& 0& -4& -4& -4& -4]
      $

卷积(matlab函数conv)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
>> x=[1 	2 	3 	4 	5 	4 	3 	2 	1 ]
% 原图像
x =

1 2 3 4 5 4 3 2 1

>> y=[2 0 -2]
% 卷积核
y =

2 0 -2

>> z=conv(x,y)
% 默认参数卷积
z =

2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4 -2

>> z=conv(y,x)
% 验证交换律
z =

2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4 -2

>> z=conv(x,y,'same')
% 切割成原图一样大
z =

4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4

>> z=conv(x,y,'full')
% 默认,全部卷积数
z =

2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4 -2

>> z=conv(x,y,'valid')
% 仅计算的没有补零边缘的卷积部分
z =

4 4 4 0 -4 -4 -4

>>

参考

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/conv.html

卷积(手动模拟)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
    	1 	2 	3 	4 	5 	4 	3 	2 	1   		% RAW
2 0 -2 % 模板
---
-2 0 -2 % 模板旋转180度
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 零填充
% 模板的长度为3,则RAW需要左右分别填充2个0
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第一次
-2 0 2 % 旋转后模板
-2*0+0*0+1*2=2 % 第一个值
X 2* X X X X X X X X X X X % 第一个值填充
--- ^ %生成在卷积核中心的位置
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第二次
-2 0 2 % 旋转后模板移动
0 + 0 + 2*2=4 % 第二个值
X 2 4* X X X X X X X X X X % 第二个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第三次
-2 0 2 % 旋转后模板移动
1*(-2)+0 + 3*2=4 % 第三个值
X 2 4 4* X X X X X X X X X % 第三个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第四次
-2 0 2 % 旋转后模板移动
2*(-2)+0 + 4*2=4 % 第四个值
X 2 4 4 4* X X X X X X X X % 第四个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第五次
-2 0 2 % 旋转后模板移动
2*(-2)+0 + 4*2=4 % 第五个值
X 2 4 4 4 4* X X X X X X X % 第五个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第6次
-2 0 2
4*(-2)+0 + 4*2=0
X 2 4 4 4 4 0* X X X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第7次
-2 0 2
5*(-2)+0 + 3*2=-4
X 2 4 4 4 4 0 -4* X X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第8次
-2 0 2
5*(-2)+0 + 3*2=-4
X 2 4 4 4 4 0 -4 -4* X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第9次
-2 0 2
3*(-2)+0 + 1*2=-4
X 2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4* X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第10次
-2 0 2
2*(-2)+0 + 0*2=-4
X 2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4* X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第11次
-2 0 2
1*(-2)+0 + 0*2=-2
X 2 4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4 -2* X
--->>>上面是最后一步,下面是简单说明后面没有了<<<---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 结束不能再移动了
-2 0 2
1*(-2)+0 + 0*2=-2
X 2 4 4 4 4 0 -4 4- -4 -4 -2 X
--->>>结果<<<---
X 2 [4 4 4 4 0 -4 -4 -4 -4] -2 X

相关(手动模拟)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
    	1 	2 	3 	4 	5 	4 	3 	2 	1   		% 原始RAW
2 0 -2 % 模板
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 零填充
% 模板的长度为3,则RAW需要左右分别填充2个0
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第一次
2 0 -2 % 模板
2*0+0*0+1*(-2)=-2 % 第一个值
X -2* X X X X X X X X X X X % 第一个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第二次
2 0 -2 % 模板移动
0 + 0 + 2*(-2)=-4 % 第二个值
X -2 -4* X X X X X X X X X X % 第二个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第三次
2 0 -2 % 模板移动
1*2+0 + 3*(-2)=-4 % 第三个值
X -2 -4 -4* X X X X X X X X X % 第三个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第四次
2 0 -2 % 模板移动
2*2+0 + 4*(-2)=-4 % 第四个值
X -2 -4 -4 -4* X X X X X X X X % 第四个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第五次
2 0 -2 % 模板移动
2*2+0 + 4*(-2)=-4 % 第五个值
X -2 -4 -4 -4 -4* X X X X X X X % 第五个值填充
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第6次
2 0 -2
4*2+0 + 4*(-2)=0
X -2 -4 -4 -4 -4 0* X X X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第7次
2 0 -2
5*2+0 + 3*(-2)=4
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4* X X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第8次
2 0 -2
5*2+0 + 3*(-2)=4
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4 4* X X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第9次
2 0 -2
3*2+0 + 1*(-2)=4
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4 4 4* X X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第10次
2 0 -2
2*2+0 + 0*(-2)=4
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4 4 4 4* X X
---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 第11次
2 0 -2
1*2+0 + 0*(-2)=2
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4 4 4 4 2* X
--->>>上面是最后一步,下面是简单说明后面没有了<<<---
0 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 % 结束不能再移动了
2 0 -2
1*2+0 + 0*(-2)=2
X -2 -4 -4 -4 -4 0 4 4 4 4 2 X
--->>>结果<<<---
X -2 [-4 -4 -4 -4 0 4 4 4 4] 2 X

(2)
$
\left[\begin{matrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\star\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 4 \ 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 1 & 0 & 5 \ 2&3&2&1&4\ 2&1&0&4&2 \end{matrix}\right]
$

卷积(手动计算公式)

S0规定中心

规定两个矩阵的中心为$(0,0)$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
% ---
=-2 =-1 =0 =1 =2
=-2 1(-2,-2)3 2 0 4
=-1 1 0 3(-1,0) 2 3
=0 0 4(0,-1) 1(0,0) 0(0,1) 5
=1 2 3 2(1,0) 1 4
=3 2 1 0 4 2(2,2)
% ---
-1(-1,-1) 0(-1,0) 1(-1,1)
-2(0,-1) 0(0,0) 2(0,1)
-1(1,-1) 0(1,0) 1(1,1)

S1求卷积核函数

  • 因为卷积具有交换律,为了方便手写公式表示,先使用交换律

$
\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 4 \ 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 1 & 0 & 5 \ 2&3&2&1&4\ 3&1&0&4&2 \end{matrix}\right]\star\left[\begin{matrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right]
$

  • 卷积核函数为

    • $\begin{aligned}
      w(x,y)=&-1f(x-1,y-1)+0f(x-1,y)+1f(x-1,y+1)\
      &+(-2)f(x,y-1)+0f(x,y)+2
      f(x,y+1)\
      &+(-1)f(x+1,y-1)+0f(x+1,y)+1f(x+1,y+1) \
      =&-1
      f(x-1,y-1)+1*f(x-1,y+1)\
      &+(-2)f(x,y-1)+2f(x,y+1)\
      &+(-1)f(x+1,y-1)+1f(x+1,y+1) \
      =&-f(x-1,y-1)+f(x-1,y+1)\
      &-2f(x,y-1)+2f(x,y+1)\
      &-f(x+1,y-1)+f(x+1,y+1)
      \end{aligned}$

S2求处理函数

变成一个处理矩阵,即合并卷积减的创作

$\begin{aligned}
g(x,y)=&-w(x,y)\=&[ -f(x-1,y-1)+f(x-1,y+1)
-2f(x,y-1)+2f(x,y+1)
-f(x+1,y-1)+f(x+1,y+1)]\=&f(x-1,y-1)-f(x-1,y+1)
+2f(x,y-1)-2f(x,y+1)
+f(x+1,y-1)-f(x+1,y+1)
\end{aligned}$

S3填充图像

  • 使用0填充图像
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
% RAW
1 3 2 0 4
1 0 3 2 3
0 4 1 0 5
2 3 2 1 4
3 1 0 4 2

% m-1=3-1=2 一圈需要填满2个0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 2 0 4 0 0
0 0 1 0 3 2 3 0 0
0 0 0 4 1 C 0 5 0 0
0 0 2 3 2 1 4 0 0
0 0 3 1 0 4 2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

S4判断新图范围

  • full模式新图
    • 计算法
      • $g(x,y)$里面项出现最小$x,y$分别为$f(x-1,y-1)$,最大$x,y$分别为$f(x+1,y+1)$,
        • 可能系数为0,但是那也算出现了
      • $f(x,y)$的取值范围,$x\in[-4,4],y\in[-4,4]$
      • 所以$g(x,y)$中的$x,y$最小要满足$f(x-1,y-1)$成立,即$x-1\in[-4,4],x\in[-3,5]$,最大也是要满足$f(x+1,y+1)$成立,即$x+1\in[-4,4],x\in[-5,3]$,交集为$[-3,3]$,所以$x_g\in[-3,3]$,因为是对称的,所以$y_g\in[-3,3]$
    • 图推法
      • 新图大小
        • $(M+m-1)*(N+n-1)$
      • 取值范围
        • $x\in[-\frac{(M+m-1)-1}{2},\frac{(M+m-1)-1}{2}]=[-\frac{M+m}{2}+1,\frac{M+m}{2}-1]=[-3,3]$
        • $y\in=[-\frac{N+n}{2}+1,\frac{N+n}{2}-1]=[-3,3]$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
% 可以移动到的边缘
0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*
0* 0* 1* 3 2 0 4* 0* 0*
0 0 1 0 3 2 3 0 0
0 0 0 4 1 C 0 5 0 0
0 0 2 3 2 1 4 0 0
0* 0* 3* 1 0 4 2* 0* 0*
0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

  • same模式新图
    • 下标和full模式一样,再次切掉周围补充0的部分
    • 计算法
      • 大小和原图一样
      • $x\in[-(\frac{(M+m-1)-1}{2}-\frac{(m-1)}{2}),\frac{(M+m-1)-1}{2}-\frac{(m-1)}{2}]=[-(3-1),3-1]=[-2,2]$
      • $y\in[-(\frac{(N+n-1)-1}{2}-\frac{(n-1)}{2}),\frac{(N+n-1)-1}{2}-\frac{(n-1)}{2}]=[-(3-2),3-1]=[-2,2]$
    • 图推法
      • 中心C处为$(0,0)$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
% 下标和full模式一样
0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

0* 0* 1* 3 2 0 4* 0* 0*
0 0 1 0 3 2 3 0 0
0 0 0 4 1 C 0 5 0 0
0 0 2 3 2 1 4 0 0
0* 0* 3* 1 0 4 2* 0* 0*

0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

0* 0* 0* 0 0 0 0* 0* 0*

S5原始图像代入卷积函数

1
2
3
4
5
6
		=-2		=-1		=0		=1		=2
=-2 1 3 2 0 4
=-1 1 0 3 2 3
=0 0 4 1 0 5
=1 2 3 2 1 4
=2 3 1 0 4 2

$
\begin{aligned}
g(x,y)=
&f(x-1,y-1)-f(x-1,y+1)
+2f(x,y-1)-2f(x,y+1)
+f(x+1,y-1)-f(x+1,y+1)
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}
g(0,0)=
&f(0-1,0-1)-f(0-1,0+1)
+2f(0,0-1)-2f(0,0+1)
+f(0+1,0-1)-f(0+1,0+1) \
=&f(-1,-1)-f(-1,1)
+2f(0,-1)-2f(0,1)
+f(1,-1)-f(1,1) \
=&0-2+2*4-0+3-1=8\end{aligned}$

$\begin{aligned}
g(1,0)=
&f(1-1,0-1)-f(1-1,0+1)
+2f(1,0-1)-2f(1,0+1)
+f(1+1,0-1)-f(1+1,0+1) \
=&f(0,-1)-f(0,1)
+2f(1,-1)-2f(1,1)
+f(2,-1)-f(2,1) \
=&4-0+23-21+1-4=5\end{aligned}$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
% 在图中位置如下
X* X* X* X X X X* X* X*

X* X* X* X X X X* X* X*

X* X* X* X X X X* X* X*
X X X X X X X X X
X X X X 8 X X X X
X X X X 5 X X X X
X* X* X* X X X X* X* X*

X* X* X* X X X X* X* X*

X* X* X* X X X X* X* X*

同理可以求得其他元素的值

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X*		X*			X*		X		X		X		X*			X*		X*

X* -1 -3 -1 3 -2 0 4 X*


X* -3 -6 -4 4 -4 2 11 X*
X -3 -7 -6 3 -6 4 15 X
X -3 -11 -4 8 C -10 3 17 X
X -7 -11 2 5 -10 6 15 X
X* -8 -5 6 -4 -6 9 8 X*


X* -3 -1 3 -3 -2 4 2 X*

X* X* X* X X X X* X* X*

卷积(matlab函数)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
x=[1	3	2	0	4;
1 0 3 2 3;
0 4 1 0 5;
2 3 2 1 4;
3 1 0 4 2];

y=[-1 0 1;
-2 0 2;
-1 0 1];

disp('默认参数(全卷积)')
disp(conv2(x,y))

disp('全卷积')
disp(conv2(x,y,'full'))

disp('测试交换律')
disp(conv2(y,x));

disp('原图像大小相同的卷积的中心部分')
disp(conv2(x,y,'same'))

disp('仅计算的没有补零边缘的卷积部分')
disp(conv2(x,y,'valid'))


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
% 结果如下

默认参数(全卷积)
-1 -3 -1 3 -2 0 4
-3 -6 -4 4 -4 2 11
-3 -7 -6 3 -6 4 15
-3 -11 -4 8 -10 3 17
-7 -11 2 5 -10 6 15
-8 -5 6 -4 -6 9 8
-3 -1 3 -3 -2 4 2

全卷积
-1 -3 -1 3 -2 0 4
-3 -6 -4 4 -4 2 11
-3 -7 -6 3 -6 4 15
-3 -11 -4 8 -10 3 17
-7 -11 2 5 -10 6 15
-8 -5 6 -4 -6 9 8
-3 -1 3 -3 -2 4 2

测试交换律
-1 -3 -1 3 -2 0 4
-3 -6 -4 4 -4 2 11
-3 -7 -6 3 -6 4 15
-3 -11 -4 8 -10 3 17
-7 -11 2 5 -10 6 15
-8 -5 6 -4 -6 9 8
-3 -1 3 -3 -2 4 2

原图像大小相同的卷积的中心部分
-6 -4 4 -4 2
-7 -6 3 -6 4
-11 -4 8 -10 3
-11 2 5 -10 6
-5 6 -4 -6 9

仅计算的没有补零边缘的卷积部分
-6 3 -6
-4 8 -10
2 5 -10

参考

【点21.普】3.6平滑空间滤波器

image-20211115203634146

题见图像复原

【点21.普】3.7锐化空间滤波器

image-20211115203705688

大题

【考17.3简答.3/6】背

简述拉普拉斯算子、拉普拉斯算子的傅里叶变换


image-20211116003620013


  • 拉普拉斯算子定义为

image-20211005033405470

image-20211118041543400

【作业21】题目2.2
  1. 完成课本数字图像处理第二版116页,习题3.25,即拉普拉斯算子具有理论上的旋转不变性。

image-20211005201908556

image-20211005202055196


证明:

  • 要证明

    • 拉普拉斯变换是各向同性的(旋转不变)
  • 只要证明

    • 旋转前后拉普拉斯变换对应值相等即可
  • 即证明

    • $\triangledown^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x’^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y’^2}$
  • $\because \triangledown^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2},x=x’\cos\theta+y’\sin\theta,y=x’\sin\theta+y’\cos\theta$

  • $\therefore$

    • $\frac{\partial f}{\partial x’ }=\frac{\partial f}{\partial x}\times\frac{\partial x}{\partial x’}+\frac{\partial f}{\partial y}\times\frac{\partial y}{\partial x’}=\frac{\partial f}{\partial x}\times(-\sin\theta)+\frac{\partial f}{\partial y}\times\cos\theta$
    • $\frac{\partial f}{\partial y’ }=\frac{\partial f}{\partial y}\times\frac{\partial y}{\partial y’}+\frac{\partial f}{\partial x}\times\frac{\partial x}{\partial y’}=\frac{\partial f}{\partial x}\times(-\cos\theta)+\frac{\partial f}{\partial y}\times(-\sin\theta)$
  • $\therefore$

    • $\frac{\partial^2f}{\partial x’^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\times\frac{\partial x}{\partial x’}\times(-\sin\theta)+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\times\frac{\partial y}{\partial x’}\times\cos\theta=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\times\sin^2\theta+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\times\cos^2\theta$
    • $\frac{\partial^2f}{\partial y’^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\times\frac{\partial x}{\partial y’}\times(-\cos\theta)+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\times\frac{\partial y}{\partial y’}\times(-\sin\theta)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\times\cos^2\theta+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\times\sin^2\theta$
  • $\therefore$

    • $\frac{\partial^2f}{\partial x’^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y’^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$

    • 即$\triangledown^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x’^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y’^2}$得证

  • $\therefore$ 拉普拉斯算子具有理论上的旋转不变性

【重点】第4章 频率域图像增强

【点21.普】4.2傅里叶变换和频率域介绍

image-20211115203858663


大题

【考19.4简答.3/6】

image-20211115234450914


【考17.3简答.6/6】傅立叶变换的性质 背

6 个傅立叶变换的性质


二维离散傅里叶变换的性质
空域平移性质(也叫时移)

因为相当于过一会到,或者换个位置(发生旋转)

image-20211006230638419

频域平移性质
  • 频移
    • 二式:把一个函数的傅里叶频谱放到坐标中心处

image-20211006230704258

平均和对称性质
  • 平均和对称性质
    • 平均:u=0,v=0
      • 信号压缩TODO
    • 共轭对称
      • TODO

image-20211006230731486

可分离性质

image-20211006230808347

image-20211005095832587

如果不分解,估计要多少乘法

$m^2*n^2$次乘法

分离方式(先对行,再对列)

$mn(m+n)$次乘法,行$nm^2$,列$mn^2$,相加$mn(m+n)$​

高效率但是不是快速傅里叶变换

1对某一行进行傅里叶变换,图2因为是黑的,所以是做了变换,只不过还是黑的

对b进行n次,每次m个点的傅里叶变换,第二个山头比较窄,方波越宽,每个频率越窄

旋转性质

image-20211006230851238

image-20211005101209199

周期性

image-20211006231523787

傅里叶时,已经假定是周期性

x轴上周期M个点

类似于瓷砖

线性

image-20211006231541533

傅里叶变换是线性变换

叠加性

微分性质

image-20211006231558011


傅里叶变换是拉普拉斯变换特例TODO

变到频域

TODO第三个要会,三角带平方,拉普拉斯


二维离散傅里叶变换性质图示

image-20211006231622699

拉普拉斯如果被变换是实数域信号,处理后是对称的,中间变换点对称,两个周期是关于连接点对称

一般的傅里叶变换,没有这个性质

最高频率TODO在哪

image-20211006231647024

四块背靠背一样的

半个周期去移动,也是重合的

卷积定理(重要)

image-20211006231720362

*代表卷积

两个函数先卷积再傅里叶等于两个函数的乘积

通常用第一个,考试两个都写(考)

等效运算常用

相关定理

image-20211006231735530

星号代表共轭

如果实数,第二组式子,星号和绝对值都可以去掉

其中$F(u,v)=\Im(f(x,y))$表示

伸缩性质

image-20211006231752589

a<1变胖

频域和空域正好相反

变换前后能量保持不变,可不知道

一些有用的傅立叶变换对

image-20211006231820885

式子1

德尔塔函数傅里叶变换值为1

任何一个函数和delta卷积都是他本身

式子2

高斯函数的傅里叶变换还是高斯

等价
$
\exp(-\pi(x^2+y^2)) \iff \exp(-\pi(u^2+v^2))
$

两边都A,线性性质

高斯函数头上一定负数,一定二次齐次

image-20211006231835203

做了对数变换

【考18.4简答.4/6】傅里叶性质

image-20211115214901335

image-20211118043759377

共轭对称性

image-20211118043556603

image-20211118043911536

https://blog.csdn.net/wayne6515/article/details/105567521

【作业21】题目3.1 傅立叶变换的平移性质
  1. 根据书中对傅立叶变换的定义,证明课本165页上有关傅立叶变换的平移性质。

    image-20211009010657359

  • $f(x,y)e^{j2\pi (u_0x/M)+v_0 y/N}\iff F(u-u_0,v-v_0)$
  • $f(x-x_0,y-y_0)\iff F(u,v)e^{-j2\pi (ux_0/M+vy_0/N)}$
  • 当$x_0=u_0=M/2$和$y_0=v_0=N/2$时
  • $f(x,y)(-1)^{x+y}\iff F(u-M/2,v-N/2)$
  • $f(x-M/2,y-N/2) \iff f(u,v)(-1)^{u+v}$

证明:

$
\begin{aligned}
\because F(u,v)=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}\
\therefore F(u-u_0,v-v_0)
=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{(u-u_0)x}{M}+\frac{(v-v_0)y}{N})}\
=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}[f(x,y)e^{j2\pi(\frac{(u_0)x}{M}+\frac{(v_0)y}{N})}]e^{-j2\pi(\frac{(u)x}{M}+\frac{(v)y}{N})}\
=&DFT(f(x,y)e^{j2\pi(\frac{u_0x}{M}+\frac{v_0y}{N})})
\end{aligned}
$

$
\begin{aligned}
\because f(x,y)=&\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}
\
\therefore f(x-x_0,y-y_0)
=&\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{(x-x_0)u}{M}+\frac{(y-y_0)v}{N})}\
=&\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}[F(u,v)e^{j2\pi(\frac{(-x_0)u}{M}+\frac{(-y_0)v}{N})}]e^{j2\pi(\frac{(x)u}{M}+\frac{(y)v}{N})}\
=&\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}[F(u,v)e^{-j2\pi(\frac{x_0u}{M}+\frac{y_0v}{N})}]e^{j2\pi(\frac{xu}{M}+\frac{yv}{N})}\
=&IDFT(F(v,v)e^{-j2\pi(\frac{x_0u}{M}+\frac{y_0v}{N})})
\end{aligned}
$


【考18.1空.3/8】卷积定义

image-20211115211410544


卷积定理

image-20211006231720362

*代表卷积

【考18.4简答.2/6】

image-20211115214632271

image-20211115214641389

【考19.4简答.2/6】

image-20211115234413561

【考17.3简答.4/6】

image-20211115202821080


image-20211116003659899


网友解答1

image-20211116003722074

image-20211116003735825

【作业21】题目3.2 背

2、 观察如下所示图像。右边的图像这样得到:

(a)在原始图像左边乘以$(-1)^{x+y}$;

(b) 计算离散傅里叶变换(DFT);

(c) 对变换取复共轭;

(d) 计算傅里叶反变换;

(e) 结果的实部再乘以$(-1)^{x+y}$ 。

(用数学方法解释为什么会产生右图的效果。)

image-20211009010414817


解:

  • 设原图像为$f(x,y)$,大小为$M\times N$
  • $f(x,y)$
  • $_\to^a f_a(x,y)=(-1)^{x+y}f(x,y)$
  • $\to^b F_b(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum{y=0}^{N-1}(-1)^{x+y}f_a(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$
  • $\to^c F_c^*(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum{y=0}^{N-1}(-1)^{x+y}f_a(x,y)e^{-[-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})]}$
    • $=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}(-1)^{x+y}f_a(x,y)e^{-j2\pi(\frac{(-u)x}{M}+\frac{(-v)y}{N})}$
    • $=F_b(-u,-v)$
  • $\to^d f_d(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum{v=0}^{N-1}F_c^*(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$
    • $=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F_b(-u,-v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$
    • $=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F_b(-u,-v)e^{j2\pi(\frac{(-u)(-x)}{M}+\frac{(-v)(-y)}{N})}$
    • $=f_a(-x,-y)$
  • $_\to^{e}f_e=f_d(x,y)(-1)^{x+y}$
    • $=f_a(-x,-y)(-1)^{(x+y)}$
    • $=(-1)^{-x-y}f(-x,-y)(-1)^{x+y}$
    • $=(-1)^{-2(x+y)}f(-x,-y)$
    • $=f(-x,-y)$
  • $\therefore f(x,y)_{\to}^{abcde}f(-x,-y)$相当于关于图像中心对称,即绕图像中心旋转180度



下面是英3的答案:

image-20211011124430660

image-20211011124445679


下面是某个网友答案

image-20211011124554595


下面是某个网友答案

image-20211011124658730

【点21.普】4.3平滑的频率域滤波器

image-20211115204001326

小题

【考18.2选.4/6】

image-20211115213145976


  • A

  • D越小,损伤信息越多

    越陡通过越少,通过高频越少

【考17.2选择.3/5】

image-20211115202559907

image-20211116003313370

【考18.3判.4/9】

image-20211115213804336


【点21.普】4.4频率域锐化滤波器

image-20211115204046321

小题

【考18.1空.4/8】背

image-20211115211534339


image-20211118041543400

微分性质第三个

image-20211118050617339

空域

image-20211118050801967

【考18.1空.6/8】

image-20211115212043707


image-20211118051049939

【考17.1填空.1/4】

image-20211115202312136

image-20211116003113575

大题

【考18.5计算.3/4】背

image-20211115232914832


image-20211118051440974

image-20211118051520827

image-20211118051554094

image-20211118051613588

【考19.5计算.3/4】

image-20211115235155025

【作业21】题目3.3

3、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是
$
H(u,v)=Ae^{-(u^2+v^2)/2\sigma^2}
$
根据二维傅里叶性质,证明空间域的相应滤波器形式为
$
h(x,y)=A2\pi \sigma^2e^{-2\pi^2 \sigma^2(x^2+y^2) }
$
(这些闭合形式只适用于连续变量情况。)

在证明中假设已经知道如下结论:函数$e^{-\pi(x^2+y^2)}$的傅立叶变换为$e^{-\pi(u^2+v^2)}$


证明:(定义法)

  • 设$H_1(u,v)=Ae^{-(u^2+v^2)/2\sigma^2},h_2(x,y)=A2\pi \sigma^2e^{-2\pi^2 \sigma^2(x^2+y^2) }$

  • $\because H_1(u,v)=Ae^{-(u^2+v^2)/2\sigma^2}$

  • $\therefore h_1(x,y)=\int_{u=-\infty}^{+\infty}\int_{v=-\infty}^{+\infty}H_1(u,v)*e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$

    • $=\iint Ae^{-(u^2+v^2)/2\sigma^2} *e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$
    • $=\iint A * e^{-\pi[(\frac{u}{\sqrt{2\pi\sigma}}+j\sqrt{2\pi}\sigma x)^2+2\pi\sigma^2x^2 ] }* e^{-\pi[(\frac{v}{\sqrt{2\pi\sigma}}+j\sqrt{2\pi}\sigma y)^2+2\pi\sigma^2y^2 ] }dudv$
  • 令$m=(\frac{u}{\sqrt{2\pi\sigma}}+j\sqrt{2\pi}\sigma x)^2+2\pi\sigma^2x^2 , n=(\frac{v}{\sqrt{2\pi\sigma}}+j\sqrt{2\pi}\sigma y)^2+2\pi\sigma^2y^2 $

  • 则$du=\sqrt{2\pi}\sigma dm,dv=\sqrt{2\pi}\sigma dn$

  • $\therefore h_1(x,y)=2\pi\sigma^2\iint A*e^{-\pi(m^2+2\pi\sigma^2 x^2)}*e^{-\pi(n^2+2\pi\sigma^2 y^2)}dmdn$

    • $=2\pi\sigma^2\iint A*e^{-\pi(m^2+2\pi\sigma^2 x^2)-\pi(n^2+2\pi\sigma^2 y^2)}dmdn$
    • $=2\pi\sigma^2\iint A*e^{-\pi m^2-\pi 2\pi\sigma^2 x^2-\pi n^2-\pi 2\pi\sigma^2 y^2)}dmdn$
    • $=2\pi\sigma^2\iint A*e^{-\pi (m^2+n^2)-2\pi^2\sigma^2 (x^2+y^2)}dmdn$
    • $=2\pi\sigma^2 A*e^{-2\pi^2\sigma^2 (x^2+y^2)}\iint e^{-\pi (m^2+n^2)}dmdn$
    • $=2\pi\sigma^2 A*e^{-2\pi^2\sigma^2 (x^2+y^2)}*1$
    • $=A2\pi \sigma^2e^{-2\pi^2 \sigma^2(x^2+y^2) }=h_2(x,y)$,原命题得证

【作业21】题目4.1

1、第二版课本习题4.21

image-20211016133906184


答:

  • 不会有区别,但是注意裁剪的时候需要在对应位置处理
  • 在频域补0,补零操作增加了频域的插值点数,让频域曲线看起来更加光滑,也就是增加了频率分辨率;时域补零相当于频域插值,类似于原先值域为了利用边缘的值而补0,只是移动有效图像在填充后图像的位置,最后也应该裁剪对应位置,就可以保证处理结果的一致。

英3答案

image-20211016135345914


下面是某个网友答案:

本质没有区别,只将图片放置在中心,而周围填充0的个数不变时,不会影响结果。因为本质都是进行了周期延拓,使得尾部的信息不会被丢弃掉。相当于滤波前将图像进行了平移。需要注意的是,滤波后得到的图像也会发生平移,裁剪的时候会产生区别。

【不点21.不考】4.5同态滤波器

【点21.普】4.6实现

image-20211116010951421

性质总结要看

4.6.6快速傅里叶变换 不用看


【作业21】题目4.3

3、请证明第二版课本习题4.5中提及的频域内高通滤波器与低通滤波器的关系式子。

image-20211016134041144


证明:

  • 不妨设原图像$f_{raw}(x,y)$由高频部分$f_h(x,y)$和低频部分$f_l(x,y)$两部分组成,即
    • $f_{raw}(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)$
  • 其中高频部分$f_h(x,y)$由高频滤波器$H_{hp}(x,y)$对原图像滤波得到,低频部分$f_h(x,y)$由低频滤波器$H_{lp}(x,y)$对原图像滤波得到,即
    • $f_h=f_{raw}(x,y)*H_{hp}(x,y)$
    • $f_l=f_{raw}(x,y)*H_{lp}(x,y)$
    • $f_{raw}(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)$
    • $f_{raw}(x,y)=f_{raw}(x,y)*H_{hp}(x,y)+f_{raw}(x,y)*H_{lp}(x,y)$
  • 两边同时进行傅里叶变换得
    • $F(u,v)=F(u,v)H_{hp}(u,v)+F(u,v)H_{lp}(u,v)$
    • $F(u,v)=F(u,v)[H_{hp}(u,v)+H_{lp}(u,v)]$
    • $1=H_{hp}(u,v)+H_{lp}(u,v)$
    • $H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)]$得证

第5章 图像复原

【点21.普】5.1图像退化/复原过程模型

大题

【作业21】题目5.2 背

2、考虑在$x$方向均匀加速导致的图像模糊问题。如果图像在$t = 0$静止,并用均匀加速$x_0(t) = at^2/2$加速,对于时间$T$, 找出模糊函数$H(u, v)$, 可以假设快门开关时间忽略不计。


  • 由于运动产生退化的退化函数为
    • $H(u,v)=\int_0^{T}exp(-j2\pi(ux_0(t)+vy_0(t)))dt$
  • 将$x_0(t) = at^2/2,y_0(t)=0$代入上式得
    • $H(u,v)=\int_0^{T}exp(-j2\pi(ux_0(t)+vy_0(t)))dt$
      • $=\int_0^{T}exp(-j2\pi uat^2/2)dt$
      • $=\int_0^{T}exp(-j\pi uat^2)dt$

【点21.普】5.2噪声模型

image-20211115204535435

小题

【考18.1空.5/8】

image-20211115211843200


大题

【考17.4计算.2/3】

image-20211115202946167

image-20211116004001036


【考18.1空.7/8】背

image-20211115212305425

【考17.1填空.2/4】

image-20211115202336420

image-20211116003133020


image-20211118053057417

【作业21】题目4.2 背

2、假设我们有一个[0,1]上的均匀分布随机数发生器U(0,1), 请基于它构造指数分布的随机数发生器,推导出随机数生成方程。若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(0,1),请推导出对数正态分布的随机数生成方程。


解:

推导指数分布随机数生成方程:

  • 均匀随机数发生器$U(0,1)$的概率密度函数

    • $p(x)={^{1,0\leq x\leq1}_{0,otherwise}$
  • 指数分布的概率密度函数如下

    • $p(y)={^{\lambda e^{-\lambda y},y\geq 0}_{0,y<0}$
  • 所以

    • $\int_0^{x}p(x)dx=\int_0^{y}p(y)dy$
    • $x=1-e^{-ay}$
    • $y=-\frac{\ln(1-x)}{a}$
    • $y=-\frac{\ln(1-U(0,1))}{a}$
  • 所以,基于$U(0,1)$的指数分布随机数生成方程为

    • $y=-\frac{\ln(1-U(0,1))}{a}$

推导对数正态分布的随机数生成方程:

  • 对于标准正态分布

    • 概率密度$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}b}e^{-(x-a)^2/2b^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
    • 累积分布函数$F_1(x)=\int_{-\infty}^xp(v)dv=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-v^2/2}dv$
  • 对于对数正态分布

    • 概率密度$p(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}by}e^{-[\ln(y)-a]^2/2b^2}$
    • 累积分布函数$F_2(y)=\int_{-\infty}^yp(v)dv=\int_{-\infty}^y\frac{1}{\sqrt{2\pi}bv}e^{-[\ln(v)-a]^2/2b^2}dv$
  • 令$F_1(x)=F_2(y)$得

    • $F_1(x)=F_2(y)$
    • $\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-v^2/2}dv=\int_{-\infty}^y\frac{1}{\sqrt{2\pi}bv}e^{-[\ln(v)-a]^2/2b^2}dv$
    • $\frac{\ln(y)-a}{b}=x$
    • $y=e^{bx+a}$
  • 所以对数正态分布的随机数生成方程为

    • $y=e^{bx+a},x$服从正态分布

image-20211118052550848

【点21.普】5.3噪声存在下的惟一空间滤波复原

image-20211115204629422

小题

【考18.2选.2/6】椒盐

image-20211115212748017


  • D中值滤波

  • 可去椒盐

    • 空域
      • 中值滤波器(可以同时消除)
        • 属于统计排序滤波器
      • 均值滤波(不能同时消除)
        • 反调和均值滤波器 $\hat{f}(x,y)=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^Q}$
          • 当 Q > 0 时,该滤波器可消除椒噪声;
          • Q=0反调和变成算术均值调和
            • (太平了,而几何均值(不属于反调和均值滤波器)太复杂了)
          • 当 Q < 0 时,它适合消除盐噪声。
            • Q=-1反调和变成调和均值
    • 频域
      • 周期噪声–傅里叶
【考17.2选择.5/5】椒盐

image-20211115202618109

image-20211116003357743


  • C
【考18.3判.56/9】椒盐

image-20211115214158748


  • 5 对

  • 6 对 约束最小二重 TODO

【作业21】题目4.4

4、对于公式
$
\hat{f}(x,y)=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^Q}
$
给出的逆谐波滤波回答下列问题:

​ (a)解释为什么当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效?

​ (b)解释为什么当Q是负值时滤波对去除“盐”噪声有效?


解:

  • $\hat{f}(x,y)=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^Q}$
    • $=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}[g(s,t)^{Q}\cdot g(s,t)]}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^Q}$
    • $=\sum_{(s,t)\in S_{xy}}[\frac{g(s,t)^{Q}\cdot g(s,t)}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^Q}]$
    • $=\sum_{(s,t)\in S_{xy}}[\frac{g(s,t)^{Q}\cdot g(s,t)}{C}]$($C$为常数)
    • $=\sum_{(s,t)\in S_{xy}}[\frac{g(s,t)^{Q}}{C}\cdot g(s,t)]$($C$为常数)
  • 由上式可见$g(s,t)^Q$起到类似加权的作用
  • 当$Q>0$时
    • 底数$g(s,t)$越大,$g(s,t)^Q$越大,起到增强效果;底数$g(s,t)$越大增强的越厉害
    • 胡椒噪音的数值上表现为非常接近0,所以都增强,相对其他增强不是那么明显,就相当于相对削弱作用,即当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效。
  • 当$Q<0$时
    • 底数$g(s,t)$越大,$g(s,t)^Q$越小,起到削弱效果;底数$g(s,t)$越大削弱的越厉害
    • 盐噪音的数值上表现为非常接近最大值,所有都削弱,而盐噪声会起到更强的削弱效果,即当Q是正值时滤波对去除盐噪声有效。

【点21.普】5.4 频域滤波削减周期噪声

image-20211115204809268

5.4.4 21最佳陷波不看,作业题也不看


【作业21】题目5.1 21不考

1、复习理解课本中最佳陷波滤波器进行图像恢复的过程,请推导出$w(x,y)$最优解的计算过程,即从公式$\frac{\partial\sigma^2(x,y)}{\partial w(x,y)}=0$到$w(x,y)=\frac{\overline{\eta(x,y)g(x,y)}-\overline{g(x,y)}\ \overline{\eta(x,y)}}{\overline{\eta^2(x,y)}\ -\overline{\eta(x,y)}^2}$的推导过程。


  • 对目标函数进行变形

    • $\sigma^2=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^a\sum_{s=-b}^b[\hat f(x+s,y+t)-\bar f],\bar f=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^a\sum_{s=-b}^b\hat f(x+s,y+t)$
      • $=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{[g(x+s,y+t)-w(x+s,y+t)\cdot\eta(x+s,y+t)]-[\overline{g(x,y)}-\overline{w(x,y)\eta(x,y)}]}^2$
      • $^{w(x+s,y+t)=w(s,y)}=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{[g(x+s,y+t)-w(x,y)\cdot\eta(x+s,y+t)]-[\overline{g(x,y)}-w(x,y)\overline{\eta(x,y)}]}^2$
      • $=^{g(x+s,y+t)=g_2,\eta(x+s,y+t)=\eta_2}\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{[g_2-w\cdot\eta_2]-[\overline{g}-w\overline{\eta}]}^2$
      • $=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{g_2-w\cdot\eta_2-\overline{g}+w\overline{\eta}}^2$
      • $=\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{g_2-\overline{g}+w\cdot(\bar\eta-\eta_2)}^2$
  • 为了最 小 化 $\sigma^2$, 我们要求解方程

    • $\frac{\partial\sigma^2}{\partial w(x,y)}=0$
  • 求解过程如下

    • $\frac{\partial\sigma^2}{\partial w(x,y)}=0$

    • $\frac{\partial}{\partial w}\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{g_2-\overline{g}+w\cdot(\bar\eta-\eta_2)}^2=0$

    • $\frac{2}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{g_2-\overline{g}+w\cdot(\bar\eta-\eta_2)}\cdot{(\bar\eta-\eta_2)}=0$

    • $\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b{(g_2-\overline{g})(\bar\eta-\eta_2)+w\cdot(\bar\eta-\eta_2)^2}=0$

    • $\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b {g_2\bar\eta-\overline{g}\bar\eta-g_2\eta_2+\overline{g}\eta_2+w\eta_2^2+w\overline{\eta}^2-2w\overline{\eta}\eta_2}=0$

    • $\frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b {g_2\bar\eta-\overline{g}\bar\eta-g_2\eta_2+\overline{g}\eta_2+w\eta_2^2+w\overline{\eta}^2-2w\overline{\eta}\eta_2}=0$

    • $\frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b g_2\bar\eta}{(2a+1)(2b+1)} + \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b -\overline{g}\bar\eta}{(2a+1)(2b+1)} + \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b -g_2\eta_2}{(2a+1)(2b+1)} + \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b +\overline{g}\eta_2}{(2a+1)(2b+1)} \+ \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b +w\eta_2^2}{(2a+1)(2b+1)} + \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b +w\overline{\eta}^2}{(2a+1)(2b+1)} + \frac{\sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^b -2w\overline{\eta}\eta_2}{(2a+1)(2b+1)} =0$

    • $\bar{g}\bar\eta- \bar{g}\bar\eta -\overline {g\eta}+\bar g\bar\eta+w\bar{\eta^2}+w\overline{\eta}^2-2w\overline{\eta}\bar\eta=0$

      • 依据平均一次之后就可以看作常数

    • $-\overline {g\eta}+\overline{g}\bar\eta+w\bar{\eta^2}-w\overline{\eta}^2=0$

    • $w=\frac{\overline {g\eta}-\overline{g}\bar\eta}{\bar{\eta^2}-\overline{\eta}^2}$

【点21.普】5.5线性、位置不变的退化

大题

【考17.3简答.1/6】

简述位移不变性


image-20211116003527229


【考18.4简答.1/6】

image-20211115214451917

【考19.4简答.1/6】背

线性移不变系统


P202 中间

image-20211118054037632

image-20211118053617039

【点21.普】5.6.3模型估计法

【点21.普】5.7逆滤波

【点21.普】5.8最小均方误差滤波(维纳滤波)

【点21.普】5.9约束最小二乘方滤波器

大题

【作业21】题目5.3

3、已知一个退化系统的退化函数$H(u,v)$, 以及噪声的均值与方差,请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出原图像的估计。


  • 频域中原图像的估计由下式给出
    • $\hat{F}(u,v)=[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2+\gamma|P(u,v)|^2}]G(u,v)$
    • 其中$P$是拉普拉斯算子的傅立叶变换,
    • 定义残差向量$r=g-H\hat{f}$
  • 由于$\hat{F}(u,v)$是$\gamma$的函数,
    • 所以$\hat{f}$和$r$也是$\gamma$的函数
  • 令$\varphi(\gamma)=r^Tr=||r||^2$为单调递增函数
    • 上下调整$\gamma$,则$||r||^2=||n||^2\pm a$,
    • $a$为调整$\gamma$的精度因子
  • 则步骤如下
    • S1
      • 设定$\gamma$初始值
    • S2
      • 计算$||r||^2$
    • S3
      • if $||r||^2=||n||^2\pm a$ goto S4
      • else goto S2
    • S4
      • 计算$\hat{F}(u,v)=[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2+\gamma|P(u,v)|^2}]G(u,v)$
    • S5
      • 通过傅立叶反变换即可得估计图像

第6章 彩色图像处理

【点21.普.只颜色空间及对应通道含义】6.2彩色模型

小题

【考17.1填空.3/4】

image-20211115202412630

image-20211116003155151

【考18.1空.8/8】

image-20211115212344692

【作业21】题目6.1 背

\1. 请列举出课堂讲授的各种颜色空间,并指出每个通道的含义。


颜色空间通道的含义
RGBR红色(red)、G绿色(green)和B蓝色(blue)
HSVH色调(hue)、S饱和度(saturation)、V数值/明度(value)
HSIH 色彩(hue), S 饱和度(saturation), I 强度(intensity)
CMY-CMYKC 青色(Cyan)、M 深红色(Magenta)、Y 黄色(Yellow)、K黑色
NTSCY亮度(Luminance),I色彩从橙色到青色(In-phase),Q色彩从紫色到黄绿色(Quadrature-phase)
YCbCrY亮度、 Cb蓝色分量和参数值的差、 Cr红色分量和参考值的差
【作业21】题目6.2 不考

2、r,g,b是RGB彩色空间沿R,G,B轴的单位向量,定义向量$\vec u=\frac{\partial R}{\partial x}r+\frac{\partial G}{\partial x}g+\frac{\partial B}{\partial x}b$和$\vec v=\frac{\partial R}{\partial y}r+\frac{\partial G}{\partial y}g+\frac{\partial B}{\partial y}b$,$g_{xx},g_{yy},g_{xy}$定义为这些向量的点乘:$g_{xx}=\vec u\cdot \vec u=\vec u^T\vec u=|\frac{\partial R}{\partial x}|^2 + |\frac{\partial G}{\partial x}|^2 + |\frac{\partial B}{\partial x}|^2,\ g_{yy}=\vec v\cdot \vec v=\vec v^T\vec v=|\frac{\partial R}{\partial y}|^2 + |\frac{\partial G}{\partial y}|^2 + |\frac{\partial B}{\partial y}|^2,\ g_{xy}=\vec u\cdot \vec v =\vec u^T \vec v =\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y}+ \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial B}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial y}$

推导出最大变换率方向$\theta$和$(x,y)$点在$\theta$方向上变化率的值$F(\theta)$


  • 由灰度图像处理中

    • 图像的梯度方向就是灰度变化率最大的方向,也就是说图像中的某坐标点(x,y)沿该点的梯度方向就是该处灰度变化率最大的方向
    • 彩色图像的最大变化率是:RGB颜色空间中的三个分量R、G、B在彩色图像坐标(x,y)上值的和的最大变化率方向
  • 即求

    • 以(x,y)为一端点,与x轴成$\theta$角的向量方向,因此只要求得角$\theta$的度数,就可以求得最大变化率方向
  • 即求

    • 使得R、G、B的值在图像坐标(x,y)中梯度的和取得最大值时的$\theta$值
  • 即求

    • 使得$|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2$取得最大值时的$\theta$值
      • 其中
        • $\vec u=\frac{\partial R}{\partial x}r+\frac{\partial G}{\partial x}g+\frac{\partial B}{\partial x}b$表示的是R、G、B的值在图像坐标$(x,y)$的$x$方向上的梯度分量
        • $\vec v=\frac{\partial R}{\partial y}r+\frac{\partial G}{\partial y}g+\frac{\partial B}{\partial y}b$表示的是R、G、B的值在图像坐标$(x,y)$的$y$方向上的梯度分量
  • 对$|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2$变形

    • $|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2=u^2\cos^2\theta+2uv\sin\theta\cos\theta+v^2\sin^2\theta$

      • $=g_{xx}\cos^2\theta+2g_{xy}\sin\theta\cos\theta+g_{yy}\sin^2\theta$

        • $g_{xx}=\vec u\cdot \vec u=\vec u^T\vec u=|\frac{\partial R}{\partial x}|^2 + |\frac{\partial G}{\partial x}|^2 + |\frac{\partial B}{\partial x}|^2,\ g_{yy}=\vec v\cdot \vec v=\vec v^T\vec v=|\frac{\partial R}{\partial y}|^2 + |\frac{\partial G}{\partial y}|^2 + |\frac{\partial B}{\partial y}|^2,\ g_{xy}=\vec u\cdot \vec v =\vec u^T \vec v =\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y}+ \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial B}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial y}$

      • $=g_{xx}\cos^2\theta+g_{xy}\sin2\theta+g_{yy}\sin^2\theta$

  • 对$|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2$求$\theta$偏导,并令偏导等于0得:

    • $\frac{\part(|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2)}{\part \theta}=0$
    • $g_{xx}\cdot(-2\cos\theta\sin\theta)+g_{xy}\cos2\theta\cdot2+g_{yy}\cdot 2\sin\theta\cos\theta=0$
    • $2g_{xy}\cos2\theta=(g_{xx}-g_{yy})\sin2\theta$
    • $\tan2\theta=\frac{2g_{xy}}{g_{xx}-g_{yy}}$
    • $2\theta=arctan\frac{2g_{xy}}{g_{xx}-g_{yy}}$
    • $\theta=\frac{1}{2}arctan\frac{2g_{xy}}{g_{xx}-g_{yy}}$
  • $(x,y)$点在$\theta$方向上变化率的值$F(\theta)$即为$\sqrt{|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2}$

      • $F(\theta)=|\vec u \cos\theta + \vec v \sin\theta|^2$
        • $=\sqrt{g_{xx}\cos^2\theta+g_{xy}\sin2\theta+g_{yy}\sin^2\theta}$
        • $=\sqrt{g_{xx}\frac{1+\cos2\theta}{2}+g_{xy}\sin2\theta+g_{yy}\frac{1-\cos2\theta}{2}}$
        • $=\sqrt{\frac{g_{xx}+g_{yy}+(g_{xx}-g_{yy})\cos2\theta+2g_{xy}\sin2\theta}{2}}$
  • $\therefore$

    • $\theta=\frac{1}{2}arctan\frac{2g_{xy}}{g_{xx}-g_{yy}}$
    • $F(\theta)=\sqrt{\frac{g_{xx}+g_{yy}+(g_{xx}-g_{yy})\cos2\theta+2g_{xy}\sin2\theta}{2}}$

【25分+】第7章 小波变换和多分辨率处理

【点21.普】7.1背景

image-20211115205407990

大题

【考18.4简答.5/6】

image-20211115230629314

【考17.3简答.2/6】

简述高斯图像金字塔和拉普拉斯图像金字塔


image-20211116003546152


image-20211118063702750

image-20211118063750194

image-20211118063846427

【考18.5计算.2/4】

image-20211115231722222

【作业21】题目7.1 子带

1、请根据课本中Z变换的定义,证明如下结论。

(1) 若$x(n)$的Z变换为$X(z)$,则$(-1)^nx(n)$的Z变换为$X(-z)$

(2) 若$x(n)$的Z变换$X(z)$,$x(-n)$的Z变换$X(\frac{1}{z})$

(3) 若$x(n)$的Z变换$X(z)$,课本280页公式7.1.2
$
x_{down}(n)=x(2n)\iff X_{down}(z)=\frac{1}{2}[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]
$
image-20211101205935211


证明

(1)

  • 要证明

    • 若$x(n)$的Z变换为$X(z)$,则$(-1)^nx(n)$的Z变换为$X(-z)$
  • 即证明

    • $X(-z_1)=\sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^nx(n)z_1^{-n}$
  • 即证明

    • $X(-z_1)=\sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^{-n}x(n)z_1^{-n}$

      • $(-1)^{-n}=(-1)^n$

  • 即证明

    • $X(-z_1)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)(-z_1)^{-n}$

      • 合并同类项

  • 即证明

    • $X(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)z^{n}$

      • 变量替换$z=-z$

  • 又因为,由Z变换的定义得:

    • $X(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$
  • 所以

    • 原命题得证

(2)

  • 要证明

    • 若$x(n)$的Z变换为$X(z)$,则$x(-n)$的Z变换为$X(\frac{1}{z})$
  • 即证明

    • $X(\frac{1}{z_1})=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(-n_1)z_1^{-n_1}$
  • 即证明

    • $X(\frac{1}{z_1})=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(-n_1)z_1^{-(-(-n_1))}$
  • 即证明

    • $X(\frac{1}{z_1})=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(-n_1)(\frac{1}{z_1})^{-(-n_1)}$
  • 即证明

    • $X(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$

      • 变量替换$z=\frac{1}{z_1},n=-n_1$

  • 又因为,由Z变换的定义得:

    • $X(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$
  • 所以

    • 原命题得证

(3)

  • 要证明

    • $x_{down}(n)=x(2n)\iff X_{down}(z)=\frac{1}{2}[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]$
  • 即证明

    • $\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=\frac{1}{2}[\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)(z^{1/2})^{-n}+\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)(-z^{1/2})^{-n}] $
  • 即证明

    • $\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=\frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)[(z^{-n/2})+((-1)^{-n}\cdot z^{-n/2})] $
  • 即证明

    • $\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=\frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)[1+(-1)^{-n}]\cdot z^{-n/2}$
  • 即证明

    • $2\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n_1)[1+(-1)^{-2n_1}]\cdot z^{-2n_1/2}+\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n_1+1)[1+(-1)^{-(2n_1+1)}]\cdot z^{-(2n_1+1)/2}$

      • 令右边$n$拆成奇偶两部分$2n_1,2n_1+1$

  • 即证明

    • $2\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)[1+(-1)^{-2n}]\cdot z^{-2n/2}+0$
  • 即证明

    • $2\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}=2\sum_{-\infty}^{+\infty}x(2n)z^{-n}$ 成立,原命题得证

大题

【考17.2选择.4/5】 背TODO四个

image-20211115202608042

image-20211116003336951


image-20211118063023138

image-20211118063146616

【作业21】题目7.2 子带编码

2、若$G_1(z)=-z^{-2k+1}G_0(-z^{-1})$成立,请证明$g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$


证明

  • 由Z变换的定义$X(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$得
    • $-z^{-2K+1}G_0(-z^{-1})$对应变换为
      • $\sum g_0(n)(-z^{-1})^{-n}(-z^{-2k+1})=\sum g_0(n)(-1)^{n+1}z^{n-2k+1}=(1)$
  • 令$-t=n-2k+1$得
    • $(1)=\sum g_0(n)(-1)^{n+1}z^{n-2k+1}=\sum g_0(2k-1-t)(-1)^{2k-t}z^{-t}=(2)$
  • 将$t$换成$n$得
    • $(2)=\sum(-1)^ng_0(2k-1-n)z^{-n}$
  • 所以
    • $g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$

g-傅里叶时 G傅里叶频


【作业21】题目7.3 子带编码

压缩的几个关系

  1. 假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的,并以此为基础,推导$h_0,h_1$的关系。

解:

  • 由题得
    • $g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$
    • $h_i(n)=g_i(2k-1-n),i={0,1}$
  • 所以
    • $h_0(n)=g_0(2k-1-n)$
    • 即$h_0(2k-1-n)=g_0(n)$
  • 所以
    • $h_1(n)=g_1(2k-1-n)$
      • $=(-1)^{2k-1-n}g_0(2k-1-(2k-1-n))$
      • $=(-1)^{n+1}g_0(n)$
      • $=(-1)^{n+1}h_0(2k-1-n)$
  • 所以
    • $h_1(n)=(-1)^{n+1}h_0(2k-1-n)$

【考18.2选.5/6】

image-20211115213258648

image-20211115213309428

【作业21】题目7.4 哈尔变换

4、

  • 哈尔变换可以用矩阵的形式表示为:

    • $T=HFH^T$

    • 其中,

      • $F$是一个的$N\times N$图像矩阵,
      • $H$是$N\times N$变换矩阵,
      • $T$是$N\times N$变换结果。
    • 对于哈尔变换,

      • 变换矩阵$H$包含基函数$h_k(z)$,
      • 它们定义在连续闭区间$z\in[0,1],k=0,1,2…N-1$,其中$N=2^n$。
    • 为了生成矩阵,

      • 定义整数$k$,即$k=2^p+q-1$
        • (这里$0\le p\leq n-1$,
          • 当$p=0$时,$q=0$,或$1$;
          • 当$p\neq 0$时,$1\leq q\leq 2^p$)。
    • 可得哈尔基函数为:

      • $h_0(z)=h_{00}(z)=\frac{1}{\sqrt{N}},z\in[0,1]$

      • image-20211108224658026

      • $N×N$哈尔变换矩阵的第$i$行包含了元素$h_i(z)$,其中$z=\frac{0}{N},\frac{1}{N},…,\frac{N-1}{N}$。

  • 计算当$N=16$时的$H_{16}$矩阵。


解:

$
H_{16}=\\frac{1}{4}
\left[\begin{array}{llllllllllllllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1& -1 & -1 & -1 & -1& -1 & -1 & -1 & -1 \
\sqrt{2} & \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2} \
2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0&2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0&2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & -2 \
2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 &2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0&2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 &2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0&2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 &2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 &2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0&2\sqrt{2}& -2\sqrt{2} \
\end{array}\right]
$

确定维度16X16

产生半个半个,周期减半,幅度增大,到下一行;

如果负的到头了,重复操作

【点21.普】7.2多分辨率展开

image-20211115205459341

大题

【考18.4简答.3/6】 尺度

image-20211115214750511

【考19.4简答.4/6】

image-20211115234617987

【考17.3简答.5/6】背

尺度函数的 4 条


1.尺度函数相对于其整数平移是正交的。

2.尺度函数以低尺度张成的函数空间嵌套在以高尺度张成的函数空间中,即

[公式]

式中, [公式] 表示“……的子空间”。尺度函数满足直觉条件:若 [公式] ,则 [公式]

3.在每个尺度上唯一可表示的函数是 [公式]

4.所有可度量的,平方可积的函数都可表示为尺度函数在 [公式] 时的线性组合,即

[公式]

式中, [公式] 是可度量的,平方可积的一维函数集合。

【点21.普?】7.3一维小波变换

image-20211115205624725

不考7.3.3

【点21.必考】7.4快速小波变换

【考19.5计算.4/4】

image-20211115235223915


【考17.4计算.3/3】

8 位输入进行快速小波变换,求 8 个输出层的值;给出 8 个输出值,反求输入值


image-20211116004024803


大题

【考18.5计算.4/4】

image-20211115233230534


小题1

image-20211118064645799

by 菲

image-20211118072738471

image-20211118064137159

by 菲

小题2

image-20211118070637632

image-20211118065151518

by 菲

【点21.概念.公式改错类】7.5二维小波变换

image-20211118060323611

第8章 图像压缩

【点21.概念.5个概念】8.3信息论要素

21信息论无计算,可能有证明题


小题

【考18.2选.6/6】

image-20211115213422161

【考18.3判.789/9】

image-20211115214350514


  • 7 错
  • 8 对

image-20211118062344879

  • 经验

    • 小概率事件包含的信息多

      偶尔不寻常,信息比较多

image-20211118061302510

image-20211118061448163

条件熵一定小于 Hz

image-20211118061617744


image-20211118061843915

第9章 形态学图像处理

9.2 膨胀与腐蚀

大题

【考18.4简答.6/6】TODO

image-20211115230724445

【考19.4简答.5/6】TODO

image-20211115234716988